浅谈构造法在解题中的运用

用构造法求（证）问题，就是根据需要与可能构造出题设条件所没有给出的函数、方程、图形、模式等以沟通题设条件与待求或待证结论的一种创造性的数学方法。本文就一些常见题型谈谈构造法在解题中的应用。

一、构造辅助方程

例1   设实数x、y、z满足，求x的取值范围。

分析：原方程组中有三个未知量x、y、z，而只求x的取值范围，因而先设法消元，即用x表示y、z。

解：由x2－yz－8x+6=0得yz=x2－8x+6……（1）

        由y2+z2+yz－6x+5=0得y2+z2+yz=6x－5……（2）

式（2）又可化为（y+z）2=6x－5+x2－8x+6得y+z=±（x－1）……（3）

（从式（1）和（3），可联想到一元二次方程根与系数的关系，从而构造一个一元二次方程。）

由（1）（3）可知y、z是一元二次方程

      m2±（x－1）m+x2－8x+6=0的两根。

又x，y，z∈R，∴该方程必有实数解。

即  △≥0，可求得 ≤x≤。

二、构造辅助函数

例2   设不等式2x－1＞m（x2－1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。

解：设g（m）=（x2－1）·m+1－2x，

则   g（m）＜0对一切|m|≤2恒成立。

当x≠±1时，g（m）是关于m的一次函数，

∴  只需

特别地，当x=1时不等式也成立，解得x∈（，）。

三、从数到形的构造

例3   已知|a|≤，b＞0，求（a－）2+（－b）2的最小值。

分析：从该式的形式上看，类似于两点间的距离公式，因此可从该式的几何意义入手，实现从数到形的构造。

解：在直角坐标系中，点A（a，），点B（，b），则点A的轨迹为以（0，0）为圆心，为半径的半圆，点B的轨迹为双曲线的一支（如图）。

（a－）2+（－b）2=|AB|2，

|OB|2=（）2+b2≥2=18。

当且仅当 =b即b=3时取等号，

此时a=1，∴|AB|2mi n=8。

例4   已知0＜a＜1，0＜b＜1，求证+≥

        证明：如图，构造边长为1的正方形ABCD在

AB边上取点E，使AE=a，过E作EF∥BC,在AD上

取点G使DG=b,过G作GH∥AB,则

=|OA|，=|OC|，∴+

≥|AC|=。

四、构造复数形式

形式“x2+y2”除了联想到两点间的距离公式通过构造线段的长度求解外，还可联想到复数的模，即|x+yi|=，因此例4还有以下的解法：

设z1=a+(1－b)i，z2=1－a+bi，则+=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|a+（1－a）+（1－b+b）i|=|1+i|=。

∴+≥。

五、构造特殊数列

例5   已知a1=1，a n+1+a n+2n+1=0，求a n。

由递推关系式求通项公式一般需要通过构造等差数列或等比数列求解。类似该题的题型，可转化成a n+1+x（n+1）+y=b·（a n+xn+y）

通过构造等比数列An+1=b·An来求解。

解：设a n+1+x（n+1）+y=－（a n+xn+y）

       即a n+1+a n+2xn+x+2y=0。

   ∴x=1，y=0。

  设An+1=a n+1+n+1得

      An=a n+n，A1=a1+1=2

∴An=2·（－1）n－1得a n=2（－1）n－1－n。

通过以上的几个例题我们发现，构造法在函数、不等式、数列等各方面领域都有着广泛的运用，因此同学们在平时的学习中应多关注构造法，开拓我们解题的视野。