数学探究性学习之研究

摘 要：在初中数学教学中，教师应通过创设问题情境、探索研究、合作交流、反思小结、课外延伸等环节让学生学会自行获得数学知识的方法，使学生始终处于一种积极参与的状态．创设情境是探究性学习的前提，探索研究是探究性学习的核心，合作交流是探究性学习的成功保证，反思小结是探究性学习的升华，课外延伸是探究性学习的迁移和拓展．

关键词：数学教学 探究性学习 合作交流 反思小结

一、问题的提出

《数学课程标准》提出：“有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法．” 探究性学习不仅已经成为课程教学与学习的基本要素，而且也是新的《课程标准》对常规课堂教学模式改革提出的基本思路之一．

目前，初中数学课堂上学生的学习方式单一、被动，缺少自主探索、合作学习、独立获取知识的机会；教师缺少对学生学习的情感、态度以及个体差异的关注，忽视学生探究精神和实践能力的培养，使学生在学习活动中的自主性、主动性和创造性受到压抑．《数学课程标准》中强调要“培养学生的创新意识、实践能力”，学生的创新意识是在主动探索知识的过程中得到培养的，学生的实践能力是在运用知识解决问题的实践活动中得到发展的，课堂教学应该是培养学生的创新意识和实践能力的主阵地．因此，进行初中数学探究性学习的课堂教学实践，寻找一种与时代发展要求相适应的教与学的方式是势在必行的．

二、数学探究性学习的概念

美国著名科学家、芝加哥大学的施瓦布（J.J.Schwab）教授提出 “探究学习”的理论，他认为：学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的，因此学生应像“小科学家”一样，以小主人公的身份去发现问题、解决问题，并在探究过程中获取知识、发展技能、培养能力，特别是培养创造能力，发展自己的个性．

教育部《普通高中“研究性学习”实施指南》指出，“研究性学习”是“学生在较为广泛教育资源背景下所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动”，其表现形式是“专题探究学习”，是“综合实践活动”的重要组成部分．这种课程也将在小学和初中逐步开设．

综合上述要求，可以把初中数学探究性学习，定义为：初中数学课堂教学中，学生在教师指导下，用类似科学研究的方式去获取知识、应用知识、解决问题的学习方式．这里，教师的主要角色是数学学习的组织者、引导者与合作者．“用类似科学研究的方式”，其实质是让学生学习科学研究的思维方式和研究方法，从而培养学生主动探究、获取知识、解决问题的能力．

三、数学探究性学习的理论基础

探究性学习依据的主要理论是源于瑞士认知心理学家皮亚杰提出的建构主义学习理论．建构主义的学习观提出，知识不能简单地通过教师传授得到的，而是每个学生在一定的情境即社会文化背景下，借助教师和同学的帮助，利用必要的学习资料，通过人际间的协作活动，依据已有的知识和经验主动地加以意义建构．建构主义理论的核心可以概括为：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构．以建构主义学习理论指导下的探究性学习，通常应包括以下几个要素：

1、“创设情境”：创设情境有利于学习的真实性和复杂性，有利于激发学生的学习兴趣和探究能力．所以，教学设计不仅要考虑教学目标，而且要把情境创设看作是教学设计的最重要内容之一．

2、“合作交流”：合作发生在学习过程的始终，从信息的摄取、假设提出与验证、学习成果评价直至意义的最终建构均具有重要作用，每个学习者的智慧是整个学习群体的共享资源．交流是协作过程中不可缺少环节，协作学习的过程也就是交流的过程，包括：教师与学生进行交互式学习；学习小组成员之间必须通过交流，商讨如何完成规定的学习任务．

3、“意义建构”：是整个学习过程的最终目标，即认识事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，学习不是知识经验从外到内的输入过程，而是学习者通过新旧知识经验之间充分的相互作用，通过主动探究而“生成”自己的知识的过程．

四、数学探究性学习的实施策略

1、创设问题情境是探究性学习的前提

所谓创设问题情境，就是在教材内容和学生求知心理之间制造一种“不协调”，把学生引入一种与问题有关的情境的过程．这一过程将激发学生强烈的求知欲望，给他们以强大的探究动力．设计问题情境，应力求做到四个“有利于”：

⑴有利于激起疑问．实践证明，教师在课堂上有意识地设疑激思，引起认知冲突，是提高学生思维能力和探究能力的重要前提．“疑是知之始”，发现问题往往比解决问题更重要．

⑵有利于类比迁移．学生认知最牢靠和最根深蒂固的部分就是生活中经常接触和经常用的知识，有些已经进入了他们的潜意识．如果教学中能和学生的这些知识作类比，将使学生对问题的探究容易入手．

⑶有利于纵横延伸．数学教学中，通过对旧问题进行延伸设计出且有适当难度的推理性问题、批判性问题，促使学生智力的“最近发展区”转化为“现在发展水平”．通过对旧问题进行延伸，不仅巩固了知识，对于发展探究能力也是非常有利的．

⑷有利于联想发散．在创设的问题情境中，要便于学生产生“由此及彼”的联想，要便于不同层次的学生都能找到自己独特的发现．因此,问题的设计要具有开放性，使得方法可以是多样的、答案可以是不唯一的、可以进行适当的引申、拓广，进而得出新的结论．这将会激发学生极大的探究热情．

2、探索研究是探究性学习的核心

探索研究需要每个学生以原有的知识经验为基础，对新的知识信息进行加工、理解，由此建构起新知识．在数学学习的过程中，教师无法代替学生自己的思考，更代替不了几十个有差异的学生的思维．只有通过学生探索研究、通过学生动手“做数学”，才能使他们亲身体验获得知识的快乐．探究性学习比较于机械记忆性学习或直接接受学习而言，需要学生注意力高度集中，更需要充足的时间作为保证．在学生探索研究的过程中，教师要还主动权于学生，让他们充分的理解、讨论、感悟，以获得丰富的体验和最大限度的发展．教学中教师要鼓励学生独立探究，努力做到：

⑴问题要符合大多数学生的实际，处于大多数学生的“最近发展区”，所谓“跳一跳，摘得到”．

⑵要解放学生的双手，让他们动手实践；要解放学生的嘴巴，让他们大胆表达；要解放学生的大脑，让他们充分想象，灵活思考．

⑶要给学生以思考性的指导，特别是当学生的见解出现错误或偏颇时，要引导学生自己发现问题．凡是学生能发现的知识，教师决不代替；凡是学生能独立解决的问题，教师决不暗示．

3、合作交流是探究性学习的成功保证

所谓合作交流，是指在学生个体独立探究的基础上，让学生在小组内或班级集体范围内，充分展示自己的思维方法及过程，相互讨论分析，揭示知识规律和解决问题的方法、途径．探究性学习积极倡导学生在学习中积极合作、群体参与．这既可以培养学生的探索精神及合作、竞争等现代意识；又有利于学生养成良好的学习习惯，提高学习能力；还使不同层次的学生得到相应的发展．学生在合作交流中学会相互帮助，实现学习互补，增强合作意识，提高交往能力，也便于学生形成良好的心理素质．为了提高合作交流的有效性，教师要重视以下合作技能的培养：

⑴善于倾听：要培养学生专心倾听别人发言的习惯，要能听出别人发言的重点，对别人的发言作出判断，有自己的见解．

⑵善于表达：要培养学生敢说的勇气，说话时要声音响亮、条理清楚、语句完整，语言简练且能突出重点．

⑶尊重他人：不随意打断他人的发言，善于采纳他人的意见，及时修改、补充自己原先的想法，体会他人的情感，控制自己的情绪．

⑷提高合作效率：学会根据任务性质来决定应该采用的策略，促使合作更加有效．例如：先明确分工再合作，使每个成员都可以发挥自己的所长，既快又好地完成任务；或先独立思考再合作讨论，达到开阔每个人思路的目的，等等．

4、反思小结是探究性学习的升华

荷兰当代著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力”．在探究学习中，学生通过自己的艰苦努力与探索，探究出丰富多彩但有些杂乱无章的结果．这些结果虽然凝结着学生探究的辛苦，但却有对有错．因此，在探究学习过程中，教师应及时引导学生进行反思与小结．对于正确的、合乎逻辑的结果予以充分的肯定，并及时提炼上升到数学思想的高度．要让学生始终对自己充满信心．如何引导学生反思，可从以下方面着手：

⑴解决这个问题你是如何入手的？关键是哪一步？

⑵解决这个问题有哪几种思路？你是如何想到这种思路的？哪种思路最好？

⑶通过本题的求解，你得到哪些经验教训？

⑷从本题求解的结果你是否可以得出一般性的结论？这个结论能否推广？

5、课外延伸是探究性学习的拓展

让学生在问题的解决过程中继续进行探究活动，将探究活动向课外拓展、延伸，可激发学生的探究欲望，激发学习兴趣，反过来促进课堂学习．要使探究活动有效地向课外延伸、拓展，需要教师十分重视设计一些必须发挥创造性、结合有关经验才能解决的开放性练习．关于开放性练习的设计，可以从以下角度着手：

1、条件开放．条件开放题就是要打破条件和结论的充要关系，可以有少用条件，多余条件，隐藏条件，缺条件（补条件），图文条件等．设计时可以根据结论，要求补充条件，选择条件，多余条件，隐藏条件等．比如：赋予a一个整数解,使二次三项式x²+ax-12能分解成两个一次因式的积.

2、结论开放．结论开放题往往有多种答案，要求学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题．比如：写出一个一元三次方程,使x=1是它的一个解等.

3、方法开放．习题解答，除了让学生学会常规的解题方法之外，还要让学生学会多方位角度地解决问题，并从中发现最有效的解决问题的方法．设计时要从解题手段、途径和非常规解题思路等考虑一题多解．如：把一个三角形的面积五等分等．

 4、综合开放．某一数学问题，若题目的条件、解题策略或结论中有两项以上不确定，则为综合开放题．这类开放题的设计可以集其它学科相关知识于题中，也可集本学科相关知识于题中．比如：学习了平面图形知识后，要求学生设计一个花园．

五、数学探究性学习案例

已知△ABC中，AB=AC，D为BC边所在直线上任一点，DE⊥AB于E⊥，DF⊥AC于F．试求DE与DF满足的关系式．    

本题没有提供图形，而且DE与DF满足的关系式没有明确的方向，学生感到难以入手．如何激发学生的探数学探究性学习的研究究欲望，让他们自己来参与数学发现呢？为此，进行了以下的教学设计：

（一）、设计问题情境，明确探究的目标

用《几何画板》演示：等腰三角形中，DE与DF的和始终是一个固定的值．激起学生疑问：点D、E、F的位置在不断变化，为什么它们的和却始终不变呢？这个固定的值是多少呢？与什么有关呢？如何来证明呢？

（二）、探求关系

1、引导学生正确分类：

⑴你认为点D的位置可能有几种情况？（点D在BC之间或与B、C之一重合或在BC延长线上）

⑵等腰三角形有几种类型？（锐角、直角、钝角

等腰三角形）你认为哪一种情形最特殊？（等腰直角三角形）

2、逐类考查，深入探究．

⑴当点D与B、C之一重合时，DE与DF应满足什么关系？

请进行合理猜想．（等于腰长）．

⑵当D在BC之间时，上述猜想还成立吗？你能就此情形验证你的猜想吗？

⑶从特殊到一般，若将等腰直角三角形改为锐角三角形或钝角三角形，上述猜想是否仍旧成立？若不成立，是否有类似的结论？请作出合理猜想？（DE与DF之和等于腰上的高线长）．

⑷如何验证⑶中的猜想呢？（截短法、加长法或面积法等）

⑸当点D在BC延长线上时，DE与DF又将满足什么样的关系呢？如何证明呢？

（三）、合作交流

1、以四人为小组，进行组内合作，充分发表己见，形成小组集体意见．

2、进行组际交流．交流猜想、交流解决方法等．

3、学生概括题中DE与DF在不同情况下满足的不同关系．

说明：这里，教师设计了一个容易激疑的问题情境，给学生思维以方向和动力；五个由浅入深的问题引起学生深入的思考，并且能促使学生“作出思考，提出猜想，进行验证”等探究性的学习活动，并引导学生探究数学活动的方法．这样设计探究学习活动，是为了更有利于学生主体性的发挥．在探究活动中强调合作，促进了学生在思维品质、人格特征以及解题方法等方面的优势互补，使学生兴趣盎然地投入探究新知的学习活动．

（四）小结反思

1、在问题的解决过程中，我们是怎样入手的？为什么要这样分类？

2、在证明过程中我们主要运用了哪两种方法？哪一种方法更加优越？

3、本题可以概括出怎样的一般性的结论？

（五）课外拓展

应用本题结论，尝试解决下列问题：

在矩形ABCD中，ACBD交于O，P为AD上任一点PE⊥AC

于点E，PF⊥BD于点F．

1、若AB=3，BC=4．求PE+PF的值．

2、若AB+BC=8，求PE+PF的最大值．